Programa

Análisis de Varias Variables Reales

Analysis in several variables

 

ECTS: 9; Horas de trabajo: 225

Titulación: Licenciado en Matemáticas

Conocimientos Previos:

-Análisis de Una Variable real

-Algebra Básica

-Algebra Lineal

 

Objetivos Y Competencias

Objetivos Generales:

-Análisis Matemático: Introducirse en este área de conocimiento, reconociendo las características que la diferencian de otras ramas de la Matemática, por su contenido y por su metodología de trabajo.

-Interpretación geométrica del espacio n-dimensional: Interpretación geométrica mediante ejemplos sencillos de los conceptos y resultados que se presentan en el curso.

-Límites y continuidad de las funciones de varias variables: Comprender e interpretar el comporta-miento de las funciones de varias variables, y utilizar técnicas para el estudio de sus propiedades de continuidad.

-Funciones diferenciables: Comprender e interpretar la definición de función diferenciable, y los conceptos relacionados con esta definición (derivadas parciales, gradientes, rectas y planos tangentes).

 

Competencias Transversales:        

-Recursos de información: Gestión de recursos de información y aprendizaje: Internet, referencias bibliográficas, etc.

-Expresión científica: Expresión oral y escrita del lenguaje matemático

-Aprendizaje autónomo y en equipo: Gestión del aprendizaje tanto de forma autónoma como en pequeños grupos.

 

Competencias específicas:  

-Representación gráfica de conjuntos: Coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas. Construcción de conjuntos con propiedades específicas en el plano y en el espacio.

-Representación gráfica de funciones: Curvas y conjuntos de nivel. Secciones. Trayectorias y parametrizaciones de curvas y superficies sencillas.

-Topología del espacio euclídeo n-dimensional: Convergencia de sucesiones. Conexión y compacidad. Caracterización de propiedades topológicas mediante sucesiones.

-Límites y continuidad: Construcción de ejemplos sencillos de funciones con ciertas propiedades en relación con las propiedades de límite y continuidad. Técnicas de estudio de las propiedades de límites y continuidad de una función en un punto y en un conjunto, y de la continuidad uniforme.

-Cálculo diferencial: Cálculo de derivadas parciales. Estudio de la diferenciabilidad de funciones en un punto y en un conjunto.

-Problemas de máximos y mínimos: Planteamiento y resolución de problemas de extremos locales y extremos condicionados.

-Función inversa y función implícita: Planteamiento y resolución de problemas de funciones inversas y funciones implícitas.

 

Programa

1. Introducción

1.1. Funciones escalares de dos y tres variables. Conjuntos de nivel, diagramas de contorno, gráficas. Funciones vectoriales de una y dos variables.

1.2. Coordenadas polares en el plano. Coordenadas cilíndricas y esféricas en Rn.

2. Topología en Rn   

2.1. Producto escalar, métrica y norma asociada. Topología de  Rn.

2.2. Sucesiones. Compacidad.

3. Funciones Continuas        

3.1. Continuidad y continuidad uniforme. Aplicaciones lineales continuas.

4. Funciones diferenciables

4.1. Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretación geométrica.

4.2. Funciones diferenciables. Regla de la cadena.

4.3. Teoremas de Valor Medio.

5. Funciones de Clase Cp     

5.1. Funciones de clase C1. Funciones de clase Cp.Teorema de Taylor.

6. Aplicaciones         

6.1. Extremos locales.

6.2. Teoremas de la Función Inversa y de la Función Implícita.

6.3. Extremos condicionados.

 

Actividades de Aprendizaje

1. Lecturas obligatorias

Los apuntes del curso propuestos como lecturas obligatorias cubren todo el programa de la asignatura. Además pueden consultarse otras referencias como las propuestas en la bibliografía.

2. Resolución de ejercicios y problema      

Se propone una amplia colección de ejercicios y problemas. Los ejercicios señalados están escogidos para que sean obligatoriamente resueltos por los alumnos, de forma autónoma o con la ayuda de la bibliografía de referencia u otra que puedan encontrar en la biblioteca o en Internet.

3. Realización de trabajos   

Realización de trabajos de desarrollo teórico sobre algún tema cercano al programa de la asignatura. Estos trabajos completan la formación en esta asignatura, centrándose en los objetivos transversales de formación del estudiante:

 – Gestión de recursos de información y aprendizaje: Internet, referencias bibliográficas, etc.

– Expresión oral y escrita del lenguaje matemático

– Gestión del aprendizaje tanto de forma autónoma como en pequeños grupos.

Además estos trabajos tratan de completar algunos contenidos que muestran diferentes aplicaciones de los conceptos aprendidos en el curso, o señalan direcciones de posibles desarrollos de la materia.

Se valorará la utilización de diferentes recursos de información, aparte de las referencias indicadas en cada caso.

Se valorará en todos los casos la presentación y la exposición del trabajo.

Se valorará también especialmente la labor personal del alumno para completar el contenido mínimo propuesto con aportaciones propias: ejemplos, ejercicios, descripciones, representaciones gráficas, etc., en los que los alumnos puedan aprender a interpretar, trabajando de forma autónoma, el lenguaje matemático y la estructura lógica de los enunciados. 

 

Citation: Porras, B. (2008, November 07). Programa. Retrieved April 23, 2014, from OCW Universidad de Cantabria Web site: http://ocw.unican.es/ciencias-experimentales/analisis-de-varias-variables-reales/programa-1.
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