Álgebra Matricial

 

Repasar los conceptos básicos del álgebra matricial utilizando la calculadora matricial de Empiricus.

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Para iniciar una sesión en Empiricus, selecciona el icono en el escritorio o en la carpeta Todos los programas del botón Inicio. Al abrirse la ventana del programa, comprueba que la versión que tienes instalada es la 4.3.2 o superior. 

El símbolo >> en la miniventana Command window es la línea de comandos, que puede utilizarse como calculadora matricial.

Cargar una matriz

Una matriz A de orden m por n es un conjunto de números dispuestos en m filas y n columnas, y que representamos como A = [a_ij], siendo a_ij el elemento de la fila i y de la columna j. Cuando m es igual a n, la matriz se denomina cuadrada; en otro caso, recibe el nombre de rectangular.

Para cargar la matriz rectangular

introducimos en la ventana de comandos la sentencia

>> mcalc A = {6 5 7 4, 5 4 2 5, 1 1 11 1}

y vemos que en la carpeta Matrices de la miniventana Data aparece el símbolo A.

Para cargar la matriz rectangular

vamos a seguir un camino distinto.

1. Abre una vista de rejilla pulsando el botón de la barra de herramientas; e introduce el nombre y los números de la matriz B como en la figura de abajo

2. Selecciona la matriz del siguiente modo: haz click en la celda que contiene el nombre de la matriz y,  manteniendo pulsada la tecla Cambio mayúsculas/minúsculas, vuelve a hacer click en la celda (4,4).

3. Una vez seleccionada la matriz, pulsa el pulsa el botón derecho del ratón y, en el menú emergente, selecciona la opción cagar matriz (Read > Matrix)

5. En la miniventana Data verás el símbolo B

Para ver el contenido de una matriz, escribe el comando mcalc seguido del nombre de la matriz. Por ejemplo,

Operaciones con matrices

1. Suma de matrices. La suma de dos matrices A=[a_ij] y B=[b_ij] del mismo orden m por n es una
matriz C=[c_ij] de orden m por n, donde c_{ij =} a_{ij +} b_ij.

Para calcular la suma de las matrices A y B, y guardar el resultado en la matriz C, introduce la sentencia

>> mcalc C = A+B

Para ve el contenido de la matriz C, escribe el comando

>> mcalc C

2. Multiplicación por un escalar. El producto de una matriz A = [a_ij] de orden (m por n) por un escalar α es una matriz B = [b_ij] del mismo orden que A, cuyos elementos son b_ij = αa_ij.

Multiplica la matriz A por 2 y guarda su contenido en la matriz E introduciendo la sentencia

>> mcalc E = 2*A

3. Matriz traspuesta. La traspuesta de la matriz A=[a_ij] de orden m por n, es una matriz A' =[a_ji] de orden n por m cuyas filas son las columnas de A o cuyas columnas son las filas de A. Introduce la sentencia

>> mcalc A'

y verás el contenido de la traspuesta de A.

4. Multiplicación de matrices. El producto de la matrices A=[a_ij] y B=[b_ij] de órdenes m por n y n por p, respectivamente, es una matriz C = [c_ij] de orden m por p, cuyo elemento genérico es la suma de los productos de los elementos de la fila i de A y de la columna j de C, c_{ij =} a_i1b_{1j +} a_i2b_{2j + ... +} a_inb_nj    

Observa que, para nuestras matrices A y B, el producto AB no está definido. Sí podemos calcular el producto de A por B'

>> mcalc F = A*B'

5. Traza de una matriz. La traza de una matriz cuadrada A = [a_ij] de orden n es la suma de los elementos de su diagonal principal a₁₁ + a₂₂ + ... + a_nn.

Comprueba que la traza de la matriz F es 339

>> mcalc trace(F)

6. Determinante. El determinante de una matriz cuadrada puede calcularse por expansión de sus cofactores

|A| = S_ia_ij(-1)^i+j|M_ij|

donde Mij es la submatriz que resulta de eliminar la fija i y la columa j.

El determinante de la matriz

es -6, y puedes calcularlo con la sentencia

>> mcalc det(G)

una vez hayas introducido la matriz G.

9. Matriz inversa. La inversa de una matriz cuadrada A = [a_ij] es una matriz A^-1 tal que AA^-1 = A^-1A = I. Introduce la sentencia

>> mcalc G*inv(G)

y comprueba que obtienes una matriz identidad de orden 3. La notación e-017 indica 10^-17que es un número muy próximo a cero.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

El sistema de ecuaciones lineales

12x₁ + 20x₂ = 388
4x₁+17x₂ = 212

puede escribirse en forma matricial como

es decir, como Ax = b. La solución del sistema es x = A^-1b.

Introduce la matriz

>> mcalc A = {12 20,4 17}

y el vector columna

>> mcalc b = {388,212}

Multiplica la inversa de A por b

>> mcalc inv(A)*b

para obtener el vector x = (19 8)'  buscado.

Autovalores y autovectores de una matriz

Se llama vector propio o autovector de una matriz cuadrada A = [a_ij] a un vector x que verifique la igualdad

Ax = lx

donde l es un escalar que se denomina valor propio o autovalor.

Introduce la matriz

>> mcalc A = {1 2,2 1}

Para calcular los autovalores de la matriz A, escribimos

>> mcalc eigr(A)

que retorna una matriz diagonal con los autovalores en la diagonal principal.

Para calcular los correspondientes autovectores,

>> mcalc eigv(A)

Diagonalización de matrices

Una matriz cuadrada A = [a_ij] de orden n es diagonalizable cuando existe una matriz cuadrada P = [p_ij] de orden n y no singular, tal que P^-1AP = D, donde D es una matriz diagonal. Los valores propios de A son los elementos de la diagonal principal de D, y sus vectores propios son las columnas de P. Introduce las sentencias

>> mcalc L = eigv(A)

>> mcalc P = eigv(A)

y comprueba que

>> mcalc inv(P)*A*P

es la matriz diagonal de autovalores L.

Para una matriz A simétrica, la matriz P de autovectores es una matriz ortogonal P*P' = I. Compruébalo.

Formas cuadráticas

Es una expresión del tipo x'Ax donde A = [a_ij] es una matriz simétrica de orden n y x es un vector columna de orden n.

Clasificación de las formas cuadráticas:

• Definidas positivas: x'Ax > 0, "x ≠ 0.
• Definidas negativas: x'Ax < 0, "x ≠ 0.
• Semidefinidas positivas: x'Ax ≥ 0, "x ≠ 0.
• Semidefinidas negativas: x'Ax ≤ 0, "x ≠ 0.
• Indefinidas: x'Ax tiene signo variable.

Si los autovalores de la matriz A son: todos positivos, entonces x'Ax > 0, "x ≠ 0; algunos positivos y otros iguales a cero, x'Ax ≥ 0, "x ≠ 0; etc.