Construcción de modelos ARMA

Objetivo

Familiarizarnos con la elaboraciÓn de modelos ARMA(p,q).

Ejercicio  Considere los modelos

1. z_t = 0.9z_t-1 + a_t  
2. z_t = -0.9z_t-1 + a_t
3. z_t = a_t - 0.9a_t-1 
4. z_t = a_t + 0.9a_t-1 
5. z_t = 0.6z_t-1 + 0.3z_t-2 + a_t
6. z_t = 0.8z_t-1 - 0.5z_t-2 + a_t
7. z_t = a_t - 0.6a_t-1 - 0.3a_t-2 
8. z_t = a_t - 0.8a_t-1 + 0.5a_t-2
9. z_t = 0.8z_t-1 - 0.5z_t-2 + a_t - 0.9a_t-1
10. z_t = 0.9z_t-1 +  a_t - 0.8a_t-1 + 0.5a_t-2

con a_t ~ N(0,1). Se pide:

1. Genere una realización con cada modelo para el periodo temporal 1960 - 2005.
2. Represente las funciones de autocorrelacion simple y parcial muestrales de cada realización, y compruebe que se corresponden con las teóricas.
3. Estime cada modelo usando los datos de las series simuladas.
4. Genere los residuos de cada modelo.
5. Represente las funciones de autocorrelacion simple y parcial de los residuos.

Solución

Crear los modelos

Especificar el periodo muestral

En la línea de comandos introducimos la sentencia

>> sample 1960 2005

Observamos que la barra de estado muestra la siguiente información

1. Generar simulaciones

Truco: pulsando las teclas Ctrl + � podemos recuperar la última sentencia introducida. 

Haciendo uso del truco anterior, introducimos las sentencias

>> model mod1 sim -a[z1]
>> model mod2 sim -a[z2]
>> model mod3 sim -a[z3]
>> model mod4 sim -a[z4]
>> model mod5 sim -a[z5]
>> model mod6 sim -a[z6]
>> model mod7 sim -a[z7]
>> model mod8 sim -a[z8]
>> model mod9 sim -a[z9]
>> model mod10 sim -a[z10]

Vemos que la miniventana de Datos muestra la siguiente información

Las series generadas son

Nota: Las series simuladas se usarán en la siguiente práctica. Es conveniente, por tanto, guardar los datos y modelos en un fichero de trabajo de Empiricus.

2. Funciones de autocorrelación simple y parcial muestrales

Seleccionando una serie y pulsando el botón de la barra de herramientas, obtenemos su gráfico temporal. La lista desplegable de la barra de herramientas contiene los gráficos que podemos generar para la serie. Vamos a elegir la opción Template 2.

Estos son las plantillas de gráficos para cada una de las series.

1. (1 - 0.9B) z_t = a_t
   
    
2. (1 + 0.9B)z_t = a_t
   
    
3. z_t = (1 - 0.9B)a_t
   
   
    
4. z_t = (1 + 0.9B)a_t
   
    
5. (1 - 0.6B - 0.3B²)z_t = a_t
   
    
6. (1 - 0.8B + 0.5B²)z_t = a_t
   
    
7. z_t = (1 - 0.6B - 0.3B²)a_t
   
    
8. z_t = (1 - 0.8B + 0.5B²)a_t
   
    
9. (1 - 0.8B + 0.5B²)z_t = (1 - 0.9B)a_t
   
    
10. (1 - 0.9B)z_t = (1 - 0.8B + 0.5B²)a_t
    

3. Estimación

Para estimar los modelos introducimos las sentencias

>> model mod1 ml z1
>> model mod2 ml z2
>> model mod3 ml z3
>> model mod4 ml z4
>> model mod5 ml z5
>> model mod6 ml z6
>> model mod7 ml z7
>> model mod8 ml z8
>> model mod9 ml z9
>> model mod10 ml z10

en donde ml son las siglas de maximum likelihood.

1. (1 - 0.9B) z_t = a_t
   
    
2. (1 + 0.9B)z_t = a_t
   
    
3. z_t = (1 - 0.9B)a_t
   
   
    
4. z_t = (1 + 0.9B)a_t
   
    
5. (1 - 0.6B - 0.3B²)z_t = a_t
   
    
6. (1 - 0.8B + 0.5B²)z_t = a_t
   
    
7. z_t = (1 - 0.6B - 0.3B²)a_t
   
    
8. z_t = (1 - 0.8B + 0.5B²)a_t
   
    
9. (1 - 0.8B + 0.5B²)z_t = (1 - 0.9B)a_t
   
    
10. (1 - 0.9B)z_t = (1 - 0.8B + 0.5B²)a_t
    

4. Residuos

Los residuos de cada modelo estimado pueden generarse introduciendo las sentencias

>> model mod1 res -a[a1]
>> model mod2 res -a[a2]
>> model mod3 res -a[a3]
>> model mod4 res -a[a4]
>> model mod5 res -a[a5]
>> model mod6 res -a[a6]
>> model mod7 res -a[a7]
>> model mod8 res -a[a8]
>> model mod9 res -a[a9]
>> model mod10 res -a[a10]
 

5. Funciones de autocorrelación simple y parcial de los residuos

1. (1 - 0.9B) z_t = a_t
   
    
2. (1 + 0.9B)z_t = a_t
   
    
3. z_t = (1 - 0.9B)a_t
   
   
    
4. z_t = (1 + 0.9B)a_t
   
    
5. (1 - 0.6B - 0.3B²)z_t = a_t
   
    
6. (1 - 0.8B + 0.5B²)z_t = a_t
   
    
7. z_t = (1 - 0.6B - 0.3B²)a_t
   
    
8. z_t = (1 - 0.8B + 0.5B²)a_t
   
    
9. (1 - 0.8B + 0.5B²)z_t = (1 - 0.9B)a_t
   
    
10. (1 - 0.9B)z_t = (1 - 0.8B + 0.5B²)a_t