Ampliación de Análisis de Varias Variables Reales (2009)

Análisis Matemático: Introducirse en este área de conocimiento, reconociendo las características que la diferencian de otras ramas de la Matemática, por su contenido y por su metodología de trabajo.

Interpretación geométrica del espacio n-dimensional: Interpretación geométrica mediante ejemplos sencillos de los conceptos y resultados que se presentan en el curso.

Integral de Riemann de funciones de varias variables: Comprender el concepto y la construcción de la de integral de funciones de varias variables, como generalización de la integral de funciones de una variable, y la relación entre la integral y el volumen de un conjunto.

Integral de Lebesgue: Comprender e interpretar el concepto y la construcción de la integral de Lebesgue, como desarrollo de la teoría de integración de Riemann e introducción a la teoría de la medida.

Cálculo Vectorial: Conocimiento de algunas de las aplicaciones clásicas de la integral de Riemann, que relacionan además esta teoría con el cálculo diferencial en varias variables.

Competencias transversales:

Recursos de información: Gestión de recursos de información y aprendizaje: Internet, referencias bibliográficas, etc.

Expresión científica: Expresión oral y escrita del lenguaje matemático

Aprendizaje autónomo y en equipo: Gestión del aprendizaje tanto de forma autónoma como en pequeños grupos.

Competencias:

Interpretación gráfica de conjuntos. Volumen: Interpretación geométrica de conjuntos en el plano y en el espacio. Conjuntos de contenido y medida cero. Construcción de ejemplos en el plano y en el espacio.

Interpretación de funciones de varias variables: Reconocer la posibilidad de modelizar situaciones mediante funciones de varias variables. Planteamiento de problemas de cálculo mediante la integral de Riemann o de Lebesgue.

Técnicas de cálculo: Calculo de integrales dobles y triples mediante el teorema de Fubini y cambios de variables en el plano y en el espacio. Planteamiento y resolución de problemas de aplicación de la integral: áreas, volúmenes, centros de gravedad,...

Límites de sucesiones de funciones: Planteamiento y resolución de problemas mediante la integral de Lebesgue de funciones definidas como límites de sucesiones de funciones.

Cálculo Vectorial: Interpretación y cálculo de integrales de línea y de superficie.

Bloque temático 1. Integral de Riemann. Construcción

1.1. Integral de Riemann en Rⁿ. Concepto y propiedades fundamentales.

1.2. Medida cero y contenido cero. Teorema de Lebesgue.

1.3. Conjuntos medibles Jordan.

Bloque temático 2. Integral de Riemann. Cálculo y aplicaciones

2.1. Teorema de Fubini.

2.2. Cambios de Variable: coordenadas polares en el plano, coordenadas cilíndricas y esféricas en el espacio.

2.3. Aplicaciones: cálculo de volúmenes, valor medio, centro de gravedad, funciones de densidad...

Bloque temático 3. Integral de Lebesgue

3.1. Medida de Lebesgue en Rⁿ.

3.2. Funciones medibles. Funciones integrables Lebesgue. Relación con la integral de Riemann.

3.3. Teoremas de convergencia.

Actividades de Aprendizaje y Actividades de Evaluación

A lo largo del curso se desarrollarán tres tipos fundamentales de actividades tutoradas:

·     Clases tutoradas: clases de resolución de problemas, ejercicios de comprensión sobre conceptos teóricos, indicaciones para la presentación de trabajos.

En estas clases la profesora resolverá algunos ejercicios o problemas, y los alumnos trabajarán sobre el resto de los ejercicios propuestos.

Estas clases se distribuyen a lo largo del curso aproximadamente dos horas por semana.

·     Tutorías: Junto con el horario de clase de la asignatura se establecerá una jornada de Tutoría Académica, de tres horas de duración, un día a la semana, para la resolución de las dudas y los problemas y trabajos propuestos como actividades de evaluación (ver apartado V.3 y V.4).

Estas tutorías se realizan en un aula de ordenadores, para facilitar el acceso al curso del Aula Virtual de la asignatura a través de webCT. Los alumnos pueden trabajar durante estas tutorías individualmente o en grupo, asistidos por la profesora.

También en estas tutorías los alumnos podrán exponer oralmente los trabajos de evaluación que hayan realizado.

Además de la resolución de ejercicios y problemas en las clases tutoradas, se proponen colecciones de ejercicios para que los alumnos resuelvan de forma independiente.

Entre los tipos de ejercicios propuestos, hay algunos que requieren la búsqueda de información, utilizando la bibliografía indicada como referencias de la asignatura, u otros recursos accesibles a los alumnos a través de la Biblioteca o de Internet.

·      También se propone la realización de trabajos de desarrollo teórico sobre algún tema cercano al programa de la asignatura. Estos trabajos completan la formación en esta asignatura, centrándose en los objetivos transversales de formación del estudiante:

• Gestión de recursos de información y aprendizaje: Internet, referencias bibliográficas, etc.
• Expresión oral y escrita del lenguaje matemático
• Gestión del aprendizaje tanto de forma autónoma como en pequeños grupos.

Además estos trabajos tratan de completar algunos contenidos que muestran diferentes aplicaciones de los conceptos aprendidos en el curso, o señalan direcciones de posibles desarrollos de la materia.
Se valorará la utilización de diferentes recursos de información, aparte de las referencias indicadas en cada caso.
Se valorará en todos los casos la presentación y la exposición del trabajo.
Se valorará también especialmente la labor personal del alumno para completar el contenido mínimo propuesto con aportaciones propias: ejemplos, ejercicios, descripciones, representaciones gráficas, etc., en los que los alumnos puedan aprender a interpretar, trabajando de forma autónoma, el lenguaje matemático y la estructura lógica de los enunciados.

A modo de ejemplo, la colección de trabajos propuestos en el curso 2007-2008 es: 

1. Conjunto no numerable de medida cero.
2. Propiedades de los intervalos en Rⁿ.
3. Introducción a la Teoría de la Relatividad.
4. Calcular una integral.
5. Cambio de variable.
6. Aplicación de la integral de Riemann a la medicina
7. Construcción de un conjunto no medible Lebesgue.
8. Funciones definidas por integrales.
9. Campos conservativos.
10. Esquema de la asignatura.

En el Apartado VI de esta guía se describe la contribución de estas actividades a la evaluación de la asignatura.