Cálculo Integral (2012)

Parte 1

Contenido:

1. Integral de Riemann para funciones de una variable real. Teorema Fundamental del Cálculo. Cálculo de primitivas.
2. Integral de un campo escalar sobre un camino.
3. Integral de un campo vectorial a lo largo de una trayectoria.
4. Cambios de parámetro e integrales sobre curvas.
5. Campos conservativos.
6. Integrales de dos variables reales: Integración de funciones definidas sobre rectángulos. Condiciones suficientes de integrabilidad. Propiedades elementales. Integrales reiteradas.
7. Funciones definidas sobre otros conjuntos acotados.
8. Regiones bidimensionales simples.
9. Cambios de variable.
10. Integrales impropias.
11. Teorema de Riemann-Green para regiones simples o más generales.
12. Distintas formulaciones y aplicaciones de la Fórmula de Riemann-Green.

Resultados del aprendizaje:

• Saber aplicar las fórmulas del cambio de variable y de integración por partes.
• Saber plantear cálculos de áreas y volúmenes a través de integrales.
• Conocer algún ejemplo de función que no sea integrable Riemann.
• Saber parametrizar curvas sencillas.
• Identificar parametrizaciones equivalentes.
• Plantear integrales para calcular longitudes y centros de masa.
• Reconocer campos conservativos.
• Saber calcular funciones potenciales de campos conservativos.
• Conocer la forma de integrar campos conservativos.
• Saber calcular los límites de integración para recintos planos simples.
• Conocer y saber aplicar cambios de variables a coordenadas polares.
• Saber interpretar todos los conceptos que aparecen en el Teorema de Riemann-Green, en especial la orientación sobre el borde del recinto.
• Saber aplicar el Teorema de Riemann-Green a recintos sencillos.
• Conocer condiciones suficientes para que el Teorema de Riemann-Green sea válido.
• Calcular áreas utilizando el Teorema de Riemann-Green.

Parte 2

Contenido:

1. Superficies en R^3 definidas en forma paramétrica.
2. Definición formal de superficie.
3. Integral de un campo escalar sobre una superficie.
4. Integral de un campo vectorial sobre una parametrización.
5. Orientación de superficies definidas en forma explícita. Idea de orientación de superficies generales.
6. Integral de un campo vectorial sobre una superficie orientada.
7.  Integrales de tres variables. Condición suficiente de integrabilidad, teorema de Fubini y regiones tridimensionales simples.
8. Cambios de variable en integrales triples. Coordenadas esféricas y cilíndricas.

Resultados del aprendizaje:

• Saber reconocer superficies clásicas a partir de sus ecuaciones.
• Calcular planos tangentes y rectas normales.
• Para superficies definidas de forma explícita, calcular áreas y centros de gravedad.
• Reconocer intuitivamente superficies no orientables.
• Para superficies definidas de forma explícita, calcular integrales de campos vectoriales.
• Conocer algunas de las aplicaciones de las integrales de campos escalares y de campos vectoriales sobre curvas y sobre superficies.
• Saber calcular los límites de integración para recintos simples de tres dimensiones.
• Conocer y saber aplicar cambios de variables a coordenadas esféricas y cilíndricas.

Parte 3

Contenido:

1. Teorema de Stokes.
2. Fórmula de Stokes para superficies definidas explícitamente.
3. Fórmula de Stokes para superficies más generales.
4. Teorema de la Divergencia de Gauss. Aplicaciones.
5. Definiciones alternativas de la integral de Riemann.
6. Idea sobre la integral de Lebesgue y la de Kurzweil-Henstock.

Resultados del aprendizaje:

• Saber interpretar todos los conceptos que aparecen en el Teorema de Stokes, en especial el borde de la superficie y su orientación.
• Saber aplicar el Teorema de Stokes a las superficies clásicas y a sus combinaciones, con especial atención a la orientación inducida entre la superficie y su borde.
• Saber aplicar el Teorema de Stokes para convertir una integral de superficie en una integral de línea o viceversa.
• Conocer el Teorema de la Divergencia y reconocer la orientación exterior (incluyendo regiones con agujeros).
• Saber aplicar el Teorema de la Divergencia a regiones limitadas por superficies clásicas o combinaciones de éstas.
• Saber aplicar el Teorema de la Divergencia para convertir una integral de superficie en una integral de volumen o viceversa.