Cálculo Simbólico y Numérico en Ecuaciones Diferenciales (2014)

Son numerosos los modelos de la Ciencia y la Técnica en los que intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales. También son numerosos los problemas con los que nos encontramos a la hora de resolver o dar aproximaciones de las soluciones de dichos modelos. En este contexto, el contenido del curso supone un complemento de la materia de ecuaciones diferenciales clásicas: se introducen algunos problemas de interés en la Ciencia y la Ingeniería, y se utilizan programas de cálculo simbólico y numérico, tan necesarios para abordar dichos problemas.

• Soluciones explícitas de ecuaciones diferenciales ordinarias, sistemas diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales. Entornos gráficos.

• Aproximación de soluciones mediante desarrollos en series de potencias.

• Cálculo numérico de soluciones: funciones Matlab.

• Sistemas autónomos no lineales. Problemas de vibraciones mecánicas.

• Uso de transformadas integrales en problemas de Ingeniería.

• Introducción a los desarrollos asintóticos.

Bajo el nombre de “Cálculo Simbólico y Numérico en Ecuaciones Diferenciales”, se ha ofertado desde el curso 2002-2003, una asignatura optativa, en los cursos cuarto y quinto de la titulación Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos del Plan 99.

El programa y la metodología de dicha asignatura fue presentado (y aprobado por la Comisión de Innovación Docente de la UC) como un proyecto de Innovación Docente en 2002. Así, en sus comienzos, dicha asignatura se encuadró en el PID de la UC con la materia del programa resumido, y la bibliografía y metodología aquí expuestas.

Desde entonces, se han matriculado, además de alumnos de la UC, alumnos/as de Erasmus de diversas Universidades Europeas y de otras Escuelas de Ingeniería españolas, alumnos a los que sus centros de origen han solicitado cursar los contenidos de dicha asignatura como complementarios de los de otras obligatorias o troncales de la UC o de sus respectivas Universidades. Se ha tratado de una asignatura de carácter fundamentalmente práctico en la que se han alternado clases teóricas y prácticas con ordenador, siempre en el aula de informática, y utilizando el programa Matlab.

Durante estos cursos académicos, con el avance del software matemático, se ha dado una nueva visión a una materia tan importante como son las Ecuaciones Diferenciales en carreras de Ingeniería, proporcionando software de manipulación simbólica y numérica. Este software se ha desarrollado a lo largo de dichos cursos, tanto en la asignatura Cálculo Simbólico y Numérico en Ecuaciones Diferenciales, como en las prácticas de otras asignaturas de Ecuaciones Diferenciales, en las titulaciones de I. Industrial e I. de Caminos, Canales y Puertos de la UC, en las que he impartido docencia. También se utiliza software elaborado por profesores de otras universidades extranjeras.

El curso supone un tratamiento computacional de las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, que aparecen en modelos de la Ciencia y la Técnica, y consideramos que el material que se proporciona constituye un complemento importante de asignaturas de Ecuaciones Diferenciales en Escuelas de Ingeniería en cualquier plan de estudios actual de la Universidad Española. Por supuesto, también puede ser de utilidad en otros estudios como Físicas y Matemáticas.

De hecho, el curso está pensado como complemento al libro “Ecuaciones Diferenciales: Una introducción” (UC, 1996, ISBN: 84-89627-28-2), basado en apuntes dictados en asignaturas básicas sobre Ecuaciones Diferenciales en las titulaciones de las escuelas ETSI de Caminos Canales y Puertos y ETSI Industriales y de Telecomunicaciones de la Universidad de Cantabria.

El actual libro electrónico está basado en apuntes de clase, esto es, en cuadernos de curso comentados, con contenidos desarrollados en las clases prácticas de la asignatura (tal y como se ha explicado arriba, a lo largo de los distintos cursos académicos). Además de los cuadernos se proporcionan hojas de problemas para cada cuaderno. Se trata de un tratamiento computacional de las Ecuaciones Diferenciales, ED con Matlab. Los conocimientos básicos que se utilizan de Matlab, se proporcionan en el primer cuaderno (preliminares) o a lo largo de los distintos cuadernos. Las versiones de Matlab utilizadas en estos cursos van desde Matlab 5.3 R11 (año 1999) hasta Matlab 7.13 R2011b (año 2011), dependiendo de la versión instalada en las salas de informática en las Escuelas de Ingeniería de la UC donde se han impartido las clases. Dada la variedad, y que van asociadas a distintos cursos académicos, las denominaremos Matlab seguida del año (e.g., Matlab 2011). También se proporcionan las funciones que nos permiten generar las soluciones y gráficos de los cuadernos, así como videos relacionados con simulaciones de fenómenos asociados a vibraciones, ondas y calor. En algunos temas tratados someramente en el libro de apuntes, o no considerados en dicho libro, como los elementos finitos, se proporcionan apuntes complementarios. Todo esto va acompañado de los correspondientes enlaces en los cuadernos de curso. Tanto programas como videos generados se encuentran en esta página web; en particular, se ha procurado que estos programas funcionen (o funcionen con mínimas modificaciones) con todas las versiones de Matlab que se acaban de mencionar.

Los temas abordados en los cuadernos van desde una computación “elemental” en ED, dirigida a alumnos de cursos básicos en que se imparten las ED (cuadernos 1—7), a problemas que se pueden considerar actualmente en los nuevos másteres universitarios (cuadernos 8-10), y o a otros problemas que podrían constituir el inicio en una materia de investigación, como son los relacionados con la influencia de pequeños parámetros en los modelos matemáticos (cuadernos 5 y 10). A lo largo de los distintos cuadernos, algunas funciones Matlab se utilizan con un mero carácter descriptivo, complementario de la materia, otras se utilizan para ilustrar razonamientos que proporcionan los teoremas, y otras para simular determinados procesos físicos. La variedad de alumnos ha condicionado el nivel y extensión de los cuadernos, a los que he intentado dar un carácter auto contenido.

Santander, Octubre de 2014.

Mª Eugenia Pérez Martínez.

Cuaderno 1. Preliminares: sobre cálculo diferencial e integral y álgebra

• Variables, funciones y formatos.

• Derivación e integración.

• Entornos gráficos.

• Matrices y vectores.

Cuaderno 2. Resolución explícita de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

• El comando “dsolve”.

• Fórmulas integrales para ED: variables separadas, homogéneas , diferenciales exactas y lineales.

• Ecuaciones de Riccati.

• Modelos diferenciales.

Cuaderno 3. Comportamiento cualitativo de soluciones de ED de primer orden: el campo de direcciones asociado a una ED

• El entorno “dfield”.

• Sobre existencia y unicidad de solución pasando por un punto.

• Comportamiento de soluciones de ED sin resolverlas.

• La solución numérica en el entorno “dfield”.

Cuaderno 4. Resolución numérica de ED y sistemas diferenciales

• ED de primer orden: problemas de Cauchy.

• Soluciones explícitas y numéricas: intervalos de definición de soluciones y control del paso.

• ED de segundo orden y sistemas diferenciales.

• Problemas de contorno: el método de tiro.

Cuaderno 5. Algunos modelos matemáticos y el plano de fases

• Modelos diferenciales lineales y no lineales: soluciones explícitas y numéricas.

• Modelos de resortes lineales: solución explícita.

• ED del péndulo y de resortes no lineales: el proceso de la linealización.

• Otros modelos con sistemas diferenciales.

• Representaciones en el plano de fases: el entorno “pplane”.

Cuaderno 6. Resolución de ecuaciones y sistemas diferenciales lineales: soluciones en series de potencias

• Fórmulas integrales para ED de segundo orden.

• Ecuaciones de Airy, Bessel, Schrödinger y otras.

• Solución por desarrollos en serie de potencias.

• Formulas integrales para sistemas lineales.

Cuaderno 7. La transformada de Laplace en ED

• La transformada de Laplace y su inversa.

• Aplicaciones a problemas de valores iniciales con ED y sistemas: modelos de resortes lineales.

• Aplicaciones a problemas de contorno: modelos de vigas.

• Algunas soluciones con “dsolve”.

Cuaderno 8. Problemas de contorno: series de Fourier y aproximación numérica de soluciones

• Resoluciones explícitas.

• Desarrollos en serie de Fourier.

• Aproximación de soluciones: métodos de Galerkin y de elementos finitos.

Cuaderno 9. EDP: modelos de propagación de ondas, vibraciones y difusión del calor

• Problemas de valores iniciales para EDP de primer orden: ondas.

• Problemas de valores iniciales para EDP de segundo orden: ondas y calor.

• Problemas mixtos para las ecuaciones de calor y ondas.

• Modelos de vibraciones de vigas.

• Problemas de contorno para la ecuación de Laplace.

• Modelos de vibraciones de membranas

Cuaderno 10. Problemas de contorno: influencia de pequeños parámetros en ED

• Diferencias finitas.

• Algunas soluciones con “bvp4c”.

• Análisis espectral para un problema “stiff”.