# Ejemplos convergencia series
(diapositivas de clase). Aplicación de la condición necesaria de convergencia

La condición necesaria de convergencia nos dice que si una serie es convergente, entonces el límite de su sucesión será necesariamente cero. La condición es necesaria, pero no suficiente. Por lo tanto, obtener un límite nulo no garantiza la convergencia, pero obtener un límite infinito la descarta.

Definición de a_n:

a(n):=n^2;

Definición de la serie:

sum(a(n),n,1,inf);

Límite de la sucesión:

limit(a(n),n,inf);

La serie es divergente, ya que el límite de la sucesión es infinito. Lo comprobamos calculando el valor de Sn. Nótese el uso de 'simpsum' tras la definición de la serie, para obtener su valor numérico en lugar de su representación simbólica:

sum(a(n),n,1,inf), simpsum=true;

b(n):=(4/3)^n;

sum(b(n),n,1,inf);

Se trata de una serie geométrica, de razón 4/3. Como r≥1, la serie será divergente. Por lo tanto, el límite de la sucesión será infinito:

limit(b(n),n,inf);

Por ejemplo, estos serían los 10 primeros términos de la sucesión (nótese el uso de 'numer' tras la instrucción para dar la representación decimal del resultado):

makelist(b(n),n,1,10),numer;

Por lo tanto, la suma parcial de orden 10:

sum(b(n),n,1,10),numer;

c(n):=(n)^(1/3)/((n)^(5/3)+2);

limit(c(n),n,inf);

Como se ve, en este caso se cumple la condición necesaria de convergencia. No puede asegurarse, no obstante, que la serie sea convergente.

En este caso, antes de haber estudiado otros criterios, podemos comprobarlo numéricamente:

sum(c(n),n,1,10), numer;

sum(c(n),n,1,100), numer;

sum(c(n),n,1,1000), numer;

sum(c(n),n,1,10000), numer;

Parece que la serie converge a un valor próximo a 2.6

d(n):=(-1/3)^n;

sum(d(n),n,1,inf);

En este caso, se trata nuevamente de una serie geométrica. En este caso, su razón es -1/3, es decir, se verifica el criterio |r|<1, por lo que la teoría nos dice que la serie será convergente. De hecho, la serie convergerá a a/(1-r), siendo en este caso a=1 y r=-1/3

1/(1-(-1/3));

sum(d(n),n,0,inf),simpsum;

Por lo tanto, habrá de cumplirse forzosamente la condición necesaria de convergencia:

limit(d(n),n,inf);

Para representar gráficamente la sucesión, definimos los valores en x e y. En este caso, se dibujan los 20 primeros valores, que sirven para visualizar el límite en cero de la sucesión:

xvals:makelist(n,n,1,20);

yvals:makelist(d(n),n,1,20);

La estrategia es representar la serie dos veces, una como puntos discretos y otra como línea, de manera que se vea la línea uniendo los puntos:

wxplot2d([[discrete,xvals,yvals],[discrete,xvals,yvals]],
                [x,0,20], [style,lines,points], [legend, false],
                [gnuplot_postamble, "set grid;"]);