# Estudio de una función

En este ejemplo, se estudiará paso por paso la siguiente función racional:

f(x):=(x^2-x+3)/(x+2);

## Dominio

En este caso, quedan fuera del dominio de la función los valores de x que anulan el denominador:

solve(denom(f(x))=0);

El dominio es R - {-2}

## Cortes con los ejes

### Con el eje X

px:[f(0),0];

### Con el eje Y

py:[0,solve(f(x)=0)];

El resultado no es un número real, la función no corta al eje Y

## Asíntotas

### Verticales

Hay una asíntota vertical en x=-2, como se indica en el cálculo del dominio

### Horizontales

### Por la derecha:

limit(f(x), x, inf);

### Por la izquierda:

limit(f(x), x, -inf);

No hay asíntotas horizontales. Buscaremos por lo tanto asíntotas oblicuas

### Oblicuas

Buscamos una recta del tipo y=mx+b

m:limit(f(x)/x,x,inf);

b:limit(f(x)-m*x,x,inf);

y:m*x+b;

Asíntota oblicua

## Crecimiento y extremos

Estudiamos los puntos críticos. Uno es x=-2, hallado estudiando el dominio de la función. Los restantes se calculan a partir de la derivada primera.

solve(diff(f(x),x)=0);

Hallamos puntos estacionarios en x=-5 y x=1

Con el criterio de la segunda derivada, determinamos el carácter de los extremos identificados. Para ver el crecimiento/decrecimiento, se studio el signo de la derivada primera, asignando valores de prueba denbtro de cada intervalo

Derivada primera:

define(f1(x), diff(f(x),x));

Derivada segunda:

define(f2(x), diff(f(x),x,2));

### (-inf,-5)

Valor de prueba: x=-6

sign(f1(-6));

La derivada es positiva, luego la función es creciente en (-inf,-5)

Aplicando el criterio de la segunda derivada, determinamos la naturaleza del extremo en x=-5:

sign(f2(-5));

Negativo, luego máximo relativo en x=-5

### (-5,-2)

sign(f1(-3));

La función es decreciente en el intervalo (-5,-2)

Al haber en x=-2 una asíntota vertical, podemos deducir que la función se va a -inf en este punto. El límite lateral por la izquierda de -2 lo confirma:

limit(f(x),x,-2,minus);

### (-2,1)

Valor de prueba: x=0

sign(f1(0));

La derivada es negativa, luego la función es decreciente en este intervalo

Efectivamente, hay un mínimo local en x=1, como podemos deducir aplicando el criterio de la segunda derivada:

sign(f2(1));

Podemos deducir por lo tanto que la función a la derecha de la asíntota se va al infinito:

limit(f(x),x,-2,plus);

### (1,inf)

Valor de prueba: x=2

sign(f1(2));

La función es creciente desde x=1 hasta infinito

## Concavidad y puntos de inflexión

solve(diff(f(x),x,2)=0);

No se encuentran puntos de inflexión. Analizamos por lo tanto la concavidad a ambos lados de la asíntota vertical:

### (-inf,-2)

### (-2,inf)

## Representación gráfica

load(draw);

ymax:15$
ymin:-25$
xmin:-15$
xmax:15$

wxdraw2d(proportional_axes = xy,
                 line_width=2,
                 explicit(f(x),x,xmin,xmax), grid=true,
                 yrange=[ymin,ymax],
                 /*Asíntota oblicua, color rojo*/    
                 line_width=1,   
                 line_type=short_long_dashes,    
                 color=red,
                 explicit(x-3,x,xmin,xmax),
                 /*Asíntota vertical*/
                 parametric(-2,t,t,ymin,ymax),        
                 /*Ejes X e Y, en color negro*/    
                 color=black,
                 line_type=solid,    
                 line_width=1,    
                 parametric(0,t,t,ymin,ymax),
                 parametric(t,0,t,xmin,xmax),
                 /*Extremos relativos, circulos rellenos en verde*/
                 point_type=filled_circle,        
                 point_size=2,
                 color=green,    
                 points([[-5,f(-5)],[1,f(1)]]));