# G1953 - Recuperación Examen Parcial 2
15 Enero 2021

kill(all);

f(x):=log(1+x);

### Obtener la expresión de la derivada n-esima de f(x)

Se calculan las derivadas sucesivas, por ejemplo hasta orden 5

makelist(diff(f(x),x,n),n,1,5);

fn(x,n):=(-1)^(n-1)*((n-1)!/(x+1)^n);

### Obtener el polinomio de McLaurin de grado 5

mcl5:taylor(f(x),x,0,5);

wxplot2d([f(x),mcl5],
    [x,-3,4], [y,-5,3],[same_xy],
    [legend,"f(x)","MacLaurin-grado 5"]);

### Obtener la expresión general de la serie obtenida:

a(n):=(-1)^(n-1)*x^n/n;

En el caso concreto de la suma parcial 5-ésima que aproximaría el valor de f(x) en el entorno del origen (es decir, el polinomio calculado en el apartado 1.2):

sum(a(n),n,1,5);

kill(all);

f(x):=atan(sin(x)/(1+cos(x)));

define(f1(x),diff(f(x),x));

La expresión de la derivada probablemente no resulta muy familiar en un principio, pero enseguida se reconoce aplicando simplificación de la expresión racional obtenida:

ratsimp(f1(x));

Aplicando una simplificación trigonométrica, llegamos al resultado final:

trigsimp(f1(x));

Al ser la derivada constante, se deduce que la gráfica de la función es una recta. Si representamos la función:

wxplot2d(f(x),[x,-2*%pi,2*%pi], [same_xy]);

La función f(x) es una función periódica (T=2π), siendo inyectiva si se considera el dominio (-π,π). Su dominio es R - {π+2kπ, k∈Z}. Vemos que efectivamente se trata de una recta, siendo por lo tanto su pendiente = 1/2 en cualquier punto de su dominio. 

Ecuación de la recta tangente en a=0:

a:0;

y-f(a)=f1(a)*(x-a);

Ecuación de la recta secante en a=0:

y-f(a)=(-1/f1(a))*(x-a);

A continuación se representa gráficamente la función y la recta normal en el punto x=0. No se representa la recta tangente en x=0, ya que esta coincide con la propia función en el intervalo (-π,π):

load(draw);

wxdraw2d(proportional_axes=xy,
    grid=true,    
    key="f(x)",
    explicit(f(x),x,-1.5*%pi,+1.5*%pi),
    color=red,
    key="recta normal",    
    explicit(-2*x,x,-1,1),
    key="",    
    point_type=filled_circle,
    point_size=2,    
    color=red,        
    points([[0,f(0)]]));

kill(all);

f(x):=exp(a)*exp(tan(x))/(4*(cos(x))^2);

integrate(f(x),x);

g(x):=(1/(3*b))*4^(sin(x^3))*cos(x^3)*3*x^2;

integrate(g(x),x);

h(x):=3*sin(2*x)/(5*sin(x)^2);

integrate(h(x),x);

I(x):=(2*x+5)/(x^2+2*x+5);

integrate(I(x),x);

kill(all);

En un primer paso definimos la función a trozos mediante la estructura de control if-then-else:

f(x,a):= if(x<0) then (1+a)*x/(1-x) else if(x>=0) then 2*x/(1+a*x);

Tras el análisis descrito en la solución del ejercicio, se comprueba que la función sólo es derivable en (-1,1/2) para a=1.

a:1;

fxs:makelist(f(x,a),a,[-1,0,1,5]);

wxplot2d([fxs[1],fxs[2],fxs[3],fxs[4]],
    [x,-1,1/2], [y,-1,1],   
    [same_xy],    
    [gnuplot_preamble, "set key top left"],    
    [legend, "a=-1","a=0","a=1","a=5"],
    [title, "Gráfica de f(x) para diferentes valores de a"]);

derivada_c : (f(1/2,a)-f(-1,a))/(1/2 - -1);

Buscamos los valores de c que verifican el teorema:

f_izquierda:(1+a)*x/(1-x);

solve(diff(f_izquierda,x)=(9/10),x);

f_derecha:2*x/(1+a*x);

solve(diff(f_derecha,x)=(9/10),x);