# G376-386 - Examen parcial
04 Dic 2020

kill(all);

f(x):=1/log(x^2+1)-1/x^2;

Se comprueba que el dominio de la función es todo R menos cero, punto en el cual la función no está definida.

Estudiamos los límites laterales de la función en 0. Hacerlo manualmente, requiere transformar previamente la función pra obtener una indeterminación del tipo [0/0], que permita aplicar L'Hopital. Dado que x siempre está elevada al cuadrado dentro de la expresión, los límites laterales deben coincidir, independientemente de si su valor es finito o no.

Lizq:limit(f(x),x,0,minus);

Lder:limit(f(x),x,0,plus);

Los límites laterales coinciden

is(Lizq=Lder);

Por lo tanto, el valor del límite es 1/2:

limit(f(x),x,0);

Por lo tanto, se trata de una DISCONTINUIDAD EVITABLE. En este caso, se evita dando el valor de 1/2 a la función en x=0:

f2(x):= (if x=0 then f2(x):=(1/2) else f2(x)=f(x));

wxplot2d(f(x),[x,-10,10],[y,0.2,0.52]);

f(x):=4*x/(x^2+3*x+2);

sol:integrate(f(x),x);

kill(all);

g(x):=cos(x)/(1+cos(x));

sol:integrate(g(x),x);

kill(all);

f(x):= if x<5 then x^2-2*x*abs(x-3) else x*sqrt(x^2+2) ;

load(draw);

wxdraw2d(explicit(f(x),x,-3,6),
                  yrange=[-5,40],
                  grid = true,
                  color=red,
                  point_type = filled_circle,
                  point_size=2,    
                  points([[3,f(3)],[5,f(5+0.01)]]));

La función es continua en x=3. Maxima no puede calcular límites de funciones definidas a trozos, y es necesario reescribir la rama de dicha función que estamos estudiando ahora:

f1(x):=x^2-2*x*abs(x-3);

limit(f1(x),x,3,minus);

limit(f1(x),x,3,plus);

Pero no derivable:

cociente_diferencial:(f1(x)-f(3))/(x-3);

limit(cociente_diferencial, x, 3, minus);

limit(cociente_diferencial, x, 3, plus);

Las derivadas laterales no coinciden, y por lo tanto la función no es derivable en x=3

define(fprima(x), diff(f1(x),x));

Arroja un error:

fprima(3);

La función no es continua en x=5 (por lo tanto tampoco derivable):

f2(x):=x*sqrt(x^2+2);

limit(f1(x),x,5,minus);

limit(f2(x),x,5,plus);

Se trata de una discontinuidad de salto finito. Por lo tanto, f(x) es derivable en todo R menos en x=3 y x=5

Por lo tanto, en el intervalo [0,2] f(x) es continua, y derivable en (0,2). Además:

is(f(0)=f(2));

f(1)=f(2), y por lo tanto ha de existir un punto c ∈ (0,2) tal que f'(c)=0.
Indicamos a maxima que estamos en la rama de la función por la izquierda de 3:

assume(x<3);

solve(diff(f1(x),x) = 0, x);

Y encontramos que c=1

kill(all);

f(x):=1/x;

t4:taylor(f(x),x,1,4);

load(draw);

wxdraw2d(key = "f(x)",
                  explicit(f(x), x, 0,3),
                  color = "red",
                  key = "Taylor orden 4",    
                  explicit(t4,x,0,3),
                  yrange=[0,8],
                  grid = true,
                  key =false,
                  point_type=filled_circle,
                  color="green",
                  point_size = 2,            
                  points([[1,f(1)]]));

Utilizando el término general de la serie:

a[n]:=(-1)^n*(x-1)^n;

t4n:sum(a[n],n,0,4);