# G376-386
Examen final Bloque III
25 Enero 2021

y1(x):=x^2+1;

y2(x):=x+3;

Puntos de corte:

solve(y1(x)=y2(x),x);

wxdraw2d(grid=true,yrange=[-1,10],
    explicit(y1(x),x,-2,3),
    explicit(y2(x),x,-2,3),
    color=black,
    parametric(0,t,t,-1,10),
    parametric(t,0,t,-2,3),
    color=red,
    line_type=dots,
    line_width=5,    
    parametric(t,0,t,-2,3));

integrando:%pi*(y2(x)^2-y1(x)^2);

integrate(integrando,x,-1,2);

integrate(1/(cos(x)+sin(x)),x);

f(x,y):=(x^4+3*x^2*y^2+2*x*y^3)/(x^2+y^2)^2;

Límites reiterados

limit(f(x,0),x,0);

limit(f(0,y),y,0);

Los límites reiterados no coinciden. Por lo tanto, no existe el límite en el origen. Se concluye que f(x,y) presenta una discontinuidad no evitable en el origen.

define(fx(x,y), diff(f(x,y),x))$ratsimp(%);

define(fy(x,y), diff(f(x,y),y))$ratsimp(%);

a:1$b:-1$

fx(a,b);

fy(a,b);

El gradiente por lo tanto, viene dado por el vector:

gradf:[fx(a,b),fy(a,b)];

Para calcular la derivada direccional, multiplicamos le gradiente por el vector director unitario "u":

theta:%pi/6;

u:[cos(theta),sin(theta)];

Quedando la derivada direccional:

Duf:gradf.u;

Representación gráfica de la superficie de la gráfica f(x,y), el punto (1,-1) y la dirección de la derivada direccional sobre la superficie, representada por la línea roja:

draw3d(explicit(f(x,y),x,-2,2,y,-2,2),
    point_type=filled_circle,
    color="green",    
    point_size=2,        
    points([[a,b,f(a,b)]]),
    color=red,   
    line_width=2,     
    parametric(t+1,t/sqrt(3)-1,f(t+1,t/sqrt(3)-1),t,-2,1));

Máxima calcula la integral impropia cuando ésta es convergente:

integrate(x/(x^2+1)^(5/2),x,-inf,0);

Gráficamente:

wxplot2d(x/(x^2+1)^(5/2),[x,-10,1]);