f(x):=atan(sin(x)/(1+cos(x)));

fx(1),numer;

Se define la sucesión que genera la serie:

a[n]:=((n^2-1)/n^2)^(2*n^3-2*n);

Se comprueba primero la condición necesaria de convergencia:

limit(a[n],n,inf);

Aplicando le criterio de la raíz:

lambda:limit(a[n]^(1/n),n,inf);

is(lambda<1);

Se concluye que la serie es convergente

f(x,y):=sin(x*y)-log(2/(x-y));

define(fx(x,y), diff(f(x,y),x));

define(fy(x,y), diff(f(x,y),y));

a:%pi/6;b:1;

gradiente:[fx(a,b),fy(a,b)];

v:[5,1]-[8,-2];

u:v/sqrt(v.v);

du:gradiente.u;

factor(%);

load(draw);

plot3d(f(x,y),[x,0.1,4],[y,0.1,4],);

f(x):=x^2/4-log(x)/2;

wxdraw2d(grid=true,
            yrange=[0,3],    
            key="f(x)",            
            explicit(f(x),x,0.1,3.5),
            point_type=filled_circle,
            point_size=2,        
            key="intervalo integracion",    
            points([[1,f(1)],[%e,f(%e)]]),
            key="",    
            color=red,
            line_width=2,    
            explicit(f(x),x,1,%e));

integrando:sqrt(1-diff(f(x),x)^2);

integrate(integrando, x, 1, %e);

expr:(2*x+1)/(x^2*(x+1));

integrate(expr,x,1,inf);

f(x,y):=sin(x*y)-log(2/(x-y));

define(fx(x,y), diff(f(x,y),x));

define(fy(x,y), diff(f(x,y),y));

gradf:[fx(%pi/3,1),fy(%pi/3,1)];

v:[8,-2]-[5,1];

modulo:sqrt(v.v);

u:v/modulo;

gradf.u;

log(%i);

rectform(%);