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  • Métodos Numéricos-G61 (2019)

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    Profesor

    Carlos Beltrán Álvarez

    Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación

    Este es un primer curso sobre el uso de los Métodos Numéricos en Física: a través de multitud de problemas físicos vemos el uso en esta ciencia de herramientas de interpolación, derivación e integración numérica, resolución de ecuaciones y sistemas, y cálculo aproximado de soluciones de ecuaciones diferenciales.


    Palabras Clave de la Asignatura

    Métodos Numéricos, Grado en Física, Interpolación, Resolución de Ecuaciones, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Problemas Aplicados en Física.

  • Programa


    Datos identificativos de la Asignatura

    • Asignatura: Métodos Numéricos

    • Código: G61

    • Departamento / Área: Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación

    • Título: Grado en Física

    • Centro: Facultad de Ciencias

    • Créditos ECTS: 6

    • Idioma de impartición: Español

    • Profesor responsable: Carlos Beltrán Álvarez



    Programa de la asignatura

     

    Capítulo 1. Preliminares matemáticos

    1.1. Límites de funciones y sucesiones, continuidad y derivabilidad

    1.2. La integral de una función de una variable real

    1.3. El teorema de Taylor

    1.4. Algunos comentarios genéricos sobre aritmética computacional

    1.5. Exercises. Computer arithmetic: representation and errors

     
    Capítulo 2 1. Interpolación y aproximación de funciones

    2.1. Interpolación polinomial

    • 2.1.1. Un comentario sobre el Teorema de aproximación de Weierstrass y los polinomios de Taylor
    • 2.1.2. Polinomios interpolantes de Lagrange
    • 2.1.3. Polinomios interpolantes y funciones derivables
    • 2.1.4. Diferencias divididas de Newton
    • 2.1.5. La elección de los nodos y los polinomios de Chebyshev

    2.2. Interpolación polinomial a trozos

    • 2.2.1. Interpolación lineal a trozos
    • 2.2.2. Trazadores o \splines" cúbicos

    2.3. El método de mínimos cuadrados

    2.4. Exercises. Interpolation

     
    Capítulo 3. Derivación e integración numérica aproximada de funciones

    3.1. Cálculo aproximado de derivadas

    • 3.1.1. Fórmulas para la primera derivada
    • 3.1.2. Fórmulas para la segunda derivada
    • 3.1.3. Adivinando el futuro sin saber casi nada
    • 3.1.4. Cálculo de derivadas en presencia de errores de medición
    • 3.1.5. Derivadas de orden superior
    • 3.1.6. Cálculo de matrices Jacobianas, gradientes, divergencias y Laplacianos

    3.2. Exercises. Numerical differentiation

    3.3. Integrales definidas

    • 3.3.1. Métodos basados en la interpolación
    • 3.3.2. Métodos de cuadratura Gaussiana
    • 3.3.3. Integrales múltiples

    3.4. Exercises. Numerical integration

       
    Capítulo 4. La resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones

    4.1. Ecuaciones de una variable real

    • 4.1.1. El método de bisección
    • 4.1.2. Métodos de punto fijo
    • 4.1.3. Métodos de Newton y de la secante

    4.2. La resolución de sistemas de ecuaciones no-lineales

    • 4.2.1. El método de Newton para varias variables
    • 4.2.2. Método del gradiente o del descenso mas rápido

    4.3. Exercises. Solving f(x) = 0

       
    Capítulo 5 . Resolución de problemas de valores iniciales

    5.1. Teora elemental de los problemas de valor inicial

    5.2. Reducción al caso de problemas de primer orden

    5.3. Métodos basados en la expansión de Taylor: Euler y Euler modificado

    • 5.3.1. Método de Euler
    • 5.3.2. Método de Euler modificado

    5.4. Metodos de Runge-Kutta

    5.5. Exercises. ODEs

       
    Capítulo 6. Problemas resueltos

    6.1. Un globo sumergido

    6.2. Una pelota flotando en una piscina grande

    6.3. Un planeta en un sistema estelar múltiple

    • 6.3.1. Un planeta como Júpiter orbitando uno y dos soles como el nuestro
    • 6.3.2. Un planeta como Júpiter orbitando dos soles como el nuestro muy separados

    6.4. Puntos de Lagrange

    6.5. Altura del impacto de una bala en un muro

    6.6. Exercises: More proposed problems

     

    Capítulo 7. Algunos temas más allá del alcance de este curso

    7.1. Análisis del error para los métodos iterativos

    7.2. El método de Broyden

    7.3. Métodos de homotopía o de continuación

    7.4. Métodos de Taylor de orden superior

  • Bibliografía

      

    Básica

    • Introductory Computational Physics / Andi Klein, Alexander Godunov

    • Elementary numerical analysis / Kendall Atkinson, Weimin Han.

    • Apuntes de la asignatura proporcionados por el profesor.

     

    Complementaria

    • Numerical linear algebra / Lloyd N. Trefethen, David Bau III.

    • Numerical analysis / Richard L. Burden, J. Douglas Faires.

  • Materiales de Clase

     

     

    • MC-F-001.  Capítulo 1. Preliminares matemáticos

    • MC-F-002. Capítulo 2. Interpolación y aproximación de funciones

    • MC-F-003. Capítulo 3. Derivación e integración numérica aproximada de funciones

    • MC-F-004. Capítulo 4. La resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones

    • MC-F-005. Capítulo 5. Resolución de problemas de valores iniciales

    • MC-F-006. Capítulo 6. Problemas resueltos

    • MC-F-007. Capítulo 7. Algunos temas más allá del alcance de este curso

  • Ejercicios, Proyectos y Casos

      

       

    Videotutoriales

    1. Cálculo de un polinomio interpolador por el método de Lagrange

     

    2. Cálculo de los nodos de Chebyshev en un intervalo [a,b]

     

    3. Aproximación de una función por el método de mínimos cuadrados

     

    4. Aproximación de la 1ª y 2ª derivada de una función a partir de una tabla de valores

     

    5. Cálculo aproximado de una integral definida mediante las reglas de punto medio / trapecio / Simpson

     

    6. Cálculo aproximado de una integral mediante la regla de Simpson Compuesta

     

    7. Cálculo de una integral por el método de Gauss Legendre

     

    8. Resolución de una ecuación por el método de bisección

     

    9. Resolución de una EDO (Ecuación Diferencial Ordinaria) por el método de Euler y por el método de Euler modificado

     

    10. Transformación de un sistema de EDOs de 2º orden en uno de 1er orden

  • Pruebas de Evaluación

     

     

    MÉTODOS DE EVALUACIÓN "MÉTODOS NUMÉRICOS"

    Descripción

    Tipología

    Evaluación final

    Recuperación

    %

    Sesiones evaluables

    Examen escrito

    No

    Sí

    40%

    • Calificación mínima: 0,00.

    • Duración: Menos de una hora.

    • Fecha realización: A lo largo del curso.

    • Condiciones de recuperación: Se podrá recuperar esta parte de la nota en la convocatoria de septiembre, rellenando un apartado o apartados específicos en el examen de septiembre.

    • Observaciones: Sesiones de corta duración en que se preguntarán a los alumnos cuestiones estudiadas en la asignatura, correspondientes a las partes práctica o teórica.

    Examen final

    Examen escrito

    Sí

    Sí

    60%

    • Calificación mínima: 0,00.

    • Duración: 4 horas.

    • Fecha realización: En las fechas designadas por la facultad para los exámenes de febrero.

    • Condiciones de recuperación: Se podrá recuperar esta parte de la nota en el examen de septiembre.

    • Observaciones: Se incluirán unas preguntas para mejorar la nota obtenida en las evaluaciones de problemas indicadas en el apartado anterior.

    TOTAL

    100%

    OBSERVACIONES:

    • La parte correspondiente a la evaluación continua podrá ser recuperada en febrero y en septiembre mediante la respuesta a preguntas de carácter teórico-práctico.

    OBSERVACIONES para alumnos/as a tiempo parcial:

    • Los alumnos matriculados a tiempo parcial podrán optar por seguir la evaluación continua de la asignatura o evaluarse de toda la asignatura en el examen de febrero/septiembre.

     

  • Guía de Aprendizaje

     

  • Sobre el profesor

     

     

     

       

    Carlos Beltrán Álvarez

     

    Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación

    UNIVERSIDAD DE CANTABRIA
     
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