Métodos Matemáticos II: Ecuaciones Derivadas Parciales (2021)
Diagrama de temas
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Profesor
Rafael Granero Belinchón
Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación
En este curso vamos a estudiar ecuaciones en derivadas parciales (de ahora en adelante EDP) y series de Fourier.
Este tipo de problemas es ubicuo en física, biología, química...
El tipo de preguntas que nos haremos en este curso girarán en torno a dos ejes principales: dada una EDP, 1) ¿existe al menos una solución? De ser así, ¿es dicha solución única? ¿depende de manera continua de los datos (es decir, ¿si cambiamos los datos iniciales o de borde un poco, la solución cambia un poco?); 2) una vez que tenemos respuestas a las preguntas anteriores, bien porque somos capaces de escribir explícitamente una solución en el caso de problemas lineales (la inmensa mayoría de los problemas de este curso), bien por otros métodos, la pregunta relevante que queda es ¿podemos decir algo de cómo se comporta la solución?
Por su parte, las series de Fourier son series de funciones. Así, estudiar las series de Fourier y sus propiedades consiste en parte en ver cuándo y en qué sentido una determinada función se puede descomponer como superposición de oscilaciones más simples.
El estudio de las series de Fourier tiene sus orígenes en los trabajos de Euler y Daniel Bernoulli pero se populariza con la memoria de Fourier sobre el calor. Desde entonces el estudio de las series y transformadas de Fourier son la base de una rama de las matemáticas conocida como Análisis armónico. Esta parte de las matemáticas tiene enormes aplicaciones en campos tan dispares como la teoría de números o la física cuántica.Palabras Clave de la Asignatura
Ecuaciones en derivadas parciales, Series de Fourier, Transformada de Fourier, Distribuciones.
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Métodos Matemáticos II: Ecuaciones Derivadas Parciales (2021)
Profesor
Rafael Granero Belinchón
Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación
En este curso vamos a estudiar ecuaciones en derivadas parciales (de ahora en adelante EDP) y series de Fourier.
Este tipo de problemas es ubicuo en física, biología, química...
El tipo de preguntas que nos haremos en este curso girarán en torno a dos ejes principales: dada una EDP, 1) ¿existe al menos una solución? De ser así, ¿es dicha solución única? ¿depende de manera continua de los datos (es decir, ¿si cambiamos los datos iniciales o de borde un poco, la solución cambia un poco?); 2) una vez que tenemos respuestas a las preguntas anteriores, bien porque somos capaces de escribir explícitamente una solución en el caso de problemas lineales (la inmensa mayoría de los problemas de este curso), bien por otros métodos, la pregunta relevante que queda es ¿podemos decir algo de cómo se comporta la solución?
Por su parte, las series de Fourier son series de funciones. Así, estudiar las series de Fourier y sus propiedades consiste en parte en ver cuándo y en qué sentido una determinada función se puede descomponer como superposición de oscilaciones más simples.
El estudio de las series de Fourier tiene sus orígenes en los trabajos de Euler y Daniel Bernoulli pero se populariza con la memoria de Fourier sobre el calor. Desde entonces el estudio de las series y transformadas de Fourier son la base de una rama de las matemáticas conocida como Análisis armónico. Esta parte de las matemáticas tiene enormes aplicaciones en campos tan dispares como la teoría de números o la física cuántica.Palabras Clave de la Asignatura
Ecuaciones en derivadas parciales, Series de Fourier, Transformada de Fourier, Distribuciones.
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Datos identificativos de la Asignatura
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Asignatura: Métodos Matemáticos 2: Ecuaciones Derivadas Parciales
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Código: G60
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Departamento / Área: Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación
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Título: Grado en Física
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Centro: Facultad de Ciencias
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Créditos ECTS: 6
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Idioma de impartición: Español
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Profesor responsable: Rafael Granero Belinchón
Programa de la asignatura
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1) Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales (EDP). EDP lineales de primer orden. Curvas características. Ec. del calor, ec. de ondas y ec. de Laplace. Clasificación y reducción a la forma canónica de EDP de segundo orden. Métodos elementales de resolución.
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2) El método de separación de variables. Aplicación a la resolución de EDP: conducción del calor sobre un alambre, vibraciones de una cuerda y la ec. de Laplace sobre un rectángulo. Desarrollo en serie de Fourier en términos de exponenciales complejas. Convergencia puntual, convergencia uniforme y convergence en L^2. Desarrollo en serie de senos y cosenos. Polinomios ortogonales y funciones de Bessel. Desarrollo en serie de polinomios de Legendre y de funciones de Bessel.
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3) Transformadas integrales de funciones. Transformada de Fourier. Transformada de Laplace. Transformadas inversas. Propiedades básicas. Convolución de funciones. Aplicación a la resolución de EDO y EDP. Teoría elemental de distribuciones. Delta de Dirac. Derivación de funciones continuas a trozos.
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Básica
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Partial Differential Equations: An Introduction 2nd Edition, Walter A. Strauss, John Wiley & sons, 2008
- Methods of Mathematical Physics, Courant y Hilbert, Ed. Wiley Interscience.
Complementaria
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Mathematical Methods for Physicists, G. B. Arfken y H. J. Weber, Ed. Harcourt-Academic Press, 2001.
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Matemáticas avanzadas para ingeniería y ciencias, M. R. Spiegel, Ed. McGraw-Hill, 2001.
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Partial differential equations for scientists and engineers, Tyn Myint-U y L. Debnath, Ed. North Holland, 1987.
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Fórmulas y tablas de matemática aplicada, M. R. Spiegel, J. Liu y L. Abellanas, Ed. McGraw-Hill, 2000.
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Vídeos de apoyo
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OR-F-001. Ideas fundamentales del capítulo 1
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OR-F-002. Ejemplo Min accion y EDOs
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OR-F-003. Min funcionales y solución de EDOs
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OR-F-004. Hoja 1. Ejercicios 1 y 2
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OR-F-005. Hoja 1. Ejercicios 6 y 7
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OR-F-006. Método de las características
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OR-F-007. Hoja 1, Ej 5
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OR-F-008. Hoja 1, Ej 3 y 4
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OR-F-009. Hoja 1, Ej 8
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OR-F-010. Hoja voluntaria 1, Ej 1 y 2
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OR-F-011. Hoja voluntaria 1, Ej 3, 4 y 5
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OR-F-012. Fórmula de D'Alembert
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OR-F-013. Ejemplo Ecuaciones de Maxwell y de Schrodinger
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OR-F-014. Decaimiento Ecuación del calor
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OR-F-015. Unicidad de soluciones ecuación del calor y de ondas
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OR-F-016. Repaso curvas cónicas
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OR-F-017. Clasificación EDP
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OR-F-018. Ejemplo clasificación EDP
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OR-F-019. Ideas principales capítulo 2
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OR-F-020. Método de separación de variables
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OR-F-021. Resolución de la ecuación de ondas con dato de borde Dirichlet
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OR-F-022. Resolución de la ecuación de ondas con dato de borde Neumann
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OR-F-023. Resolución de la ecuación del calor con dato de borde Dirichlet
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OR-F-024. Resolución de la ecuación del calor en dos dimensiones con dato de borde Neumann
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OR-F-025. Hoja 2 Ejercicio 3 Parte 1
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OR-F-026. Hoja 2 Ejercicio 3 Parte 2
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OR-F-027. Hoja 2 Ejercicio 3 Parte 3
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OR-F-028. Resumen capítulo 3
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OR-F-029. Hoja voluntario 2. Ejercicio 1
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OR-F-030. Series de Fourier como combinación lineal
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OR-F-031. El espacio L2
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. La desigualdad de Bessel
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OR-F-033. Diferentes maneras de converger
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OR-F-034. Ejemplo de la convergencia de funciones
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OR-F-035. Convergencia de la serie de Fourier
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OR-F-036. Comparación entre series de Fourier en diferentes bases
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OR-F-037. Resumen Series de Fourier
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OR-F-038. Hoja voluntaria 3 Ejercicio 2
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OR-F-039. Transformada de Fourier
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OR-F-040. Propiedades de la transformada de Fourier
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OR-F-041. Transformada de Fourier y transformada de Laplace
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OR-F-042. Hoja 4, Ejercicio 3
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OR-F-043. Hoja 4, Ejercicio 4
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OR-F-044. Hoja 4, Ejercicios 7 y 8
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Rafael Granero Belinchón
Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación
UNIVERSIDAD DE CANTABRIA
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