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  • Cálculo Simbólico y Numérico en Ecuaciones Diferenciales (2014)

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    ecuaciones1               

         

    Profesora

    María Eugenia Pérez Martínez

    Departamento de Matemática Aplicada y Ciencias de la Computación

       

    ISBN: 978-84-697-1987-9 

     

     

     

     

     

     

    Tratamiento computacional de las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales: el contenido del curso supone un complemento de la materia de ecuaciones diferenciales clásicas de la carrera. Se introducen algunos problemas de interés en la Ciencia y la Ingeniería, y se utilizan programas de cálculo simbólico y numérico, tan necesarios para abordar dichos problemas.

       

    Palabras Clave de la Asignatura

    Ondas, Modelos Matemáticos, Ecuaciones en Derivadas Parciales, Vibraciones, Comportamiento Cualitativo de Soluciones, Calor, Transformada de Laplace, Problema de Cauchy, Métodos Numéricos, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Sistemas Diferenciales, Métodos Analíticos, Problemas de Contorno, Desarrollos en Series de Potencias, Desarrollos en Series de Fourier, Desarrollos asintóticos.

  • Programa

    programa

     

     

    Datos identificativos de la Asignatura

    • Asignatura: Cálculo Simbólico y Numérico en Ecuaciones Diferenciales

    • Departamento / Área: Departamento de Matemática Aplicada y Ciencias de la Computación

    • Centro: Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puestos

    • Idioma de impartición: Español

    • Profesor responsable: María Eugenia Pérez Martínez

     

     

     

        Descripción breve    

     

    Son numerosos los modelos de la Ciencia y la Técnica en los que intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales. También son numerosos los problemas con los que nos encontramos a la hora de resolver o dar aproximaciones de las soluciones de dichos modelos. En este contexto, el contenido del curso supone un complemento de la materia de ecuaciones diferenciales clásicas: se introducen algunos problemas de interés en la Ciencia y la Ingeniería, y se utilizan programas de cálculo simbólico y numérico, tan necesarios para abordar dichos problemas.

     

     

     

        Resumen del programa    

     

    • Soluciones explícitas de ecuaciones diferenciales ordinarias, sistemas diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales. Entornos gráficos.

    • Aproximación de soluciones mediante desarrollos en series de potencias.

    • Cálculo numérico de soluciones: funciones Matlab.

    • Sistemas autónomos no lineales. Problemas de vibraciones mecánicas.

    • Uso de transformadas integrales en problemas de Ingeniería.

    • Introducción a los desarrollos asintóticos.

     

     

     

        Comentarios al programa    

     

    Bajo el nombre de “Cálculo Simbólico y Numérico en Ecuaciones Diferenciales”, se ha ofertado desde el curso 2002-2003, una asignatura optativa, en los cursos cuarto y quinto de la titulación Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos del Plan 99.

    El programa y la metodología de dicha asignatura fue presentado (y aprobado por la Comisión de Innovación Docente de la UC) como un proyecto de Innovación Docente en 2002. Así, en sus comienzos, dicha asignatura se encuadró en el PID de la UC con la materia del programa resumido, y la bibliografía y metodología aquí expuestas.

    Desde entonces, se han matriculado, además de alumnos de la UC, alumnos/as de Erasmus de diversas Universidades Europeas y de otras Escuelas de Ingeniería españolas, alumnos a los que sus centros de origen han solicitado cursar los contenidos de dicha asignatura como complementarios de los de otras obligatorias o troncales de la UC o de sus respectivas Universidades. Se ha tratado de una asignatura de carácter fundamentalmente práctico en la que se han alternado clases teóricas y prácticas con ordenador, siempre en el aula de informática, y utilizando el programa Matlab.

    Durante estos cursos académicos, con el avance del software matemático, se ha dado una nueva visión a una materia tan importante como son las Ecuaciones Diferenciales en carreras de Ingeniería, proporcionando software de manipulación simbólica y numérica. Este software se ha desarrollado a lo largo de dichos cursos, tanto en la asignatura Cálculo Simbólico y Numérico en Ecuaciones Diferenciales, como en las prácticas de otras asignaturas de Ecuaciones Diferenciales, en las titulaciones de I. Industrial e I. de Caminos, Canales y Puertos de la UC, en las que he impartido docencia. También se utiliza software elaborado por profesores de otras universidades extranjeras.

    El curso supone un tratamiento computacional de las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, que aparecen en modelos de la Ciencia y la Técnica, y consideramos que el material que se proporciona constituye un complemento importante de asignaturas de Ecuaciones Diferenciales en Escuelas de Ingeniería en cualquier plan de estudios actual de la Universidad Española. Por supuesto, también puede ser de utilidad en otros estudios como Físicas y Matemáticas.

    De hecho, el curso está pensado como complemento al libro “Ecuaciones Diferenciales: Una introducción” (UC, 1996, ISBN: 84-89627-28-2), basado en apuntes dictados en asignaturas básicas sobre Ecuaciones Diferenciales en las titulaciones de las escuelas ETSI de Caminos Canales y Puertos y ETSI Industriales y de Telecomunicaciones de la Universidad de Cantabria.

    El actual libro electrónico está basado en apuntes de clase, esto es, en cuadernos de curso comentados, con contenidos desarrollados en las clases prácticas de la asignatura (tal y como se ha explicado arriba, a lo largo de los distintos cursos académicos). Además de los cuadernos se proporcionan hojas de problemas para cada cuaderno. Se trata de un tratamiento computacional de las Ecuaciones Diferenciales, ED con Matlab. Los conocimientos básicos que se utilizan de Matlab, se proporcionan en el primer cuaderno (preliminares) o a lo largo de los distintos cuadernos. Las versiones de Matlab utilizadas en estos cursos van desde Matlab 5.3 R11 (año 1999) hasta Matlab 7.13 R2011b (año 2011), dependiendo de la versión instalada en las salas de informática en las Escuelas de Ingeniería de la UC donde se han impartido las clases. Dada la variedad, y que van asociadas a distintos cursos académicos, las denominaremos Matlab seguida del año (e.g., Matlab 2011). También se proporcionan las funciones que nos permiten generar las soluciones y gráficos de los cuadernos, así como videos relacionados con simulaciones de fenómenos asociados a vibraciones, ondas y calor. En algunos temas tratados someramente en el libro de apuntes, o no considerados en dicho libro, como los elementos finitos, se proporcionan apuntes complementarios. Todo esto va acompañado de los correspondientes enlaces en los cuadernos de curso. Tanto programas como videos generados se encuentran en esta página web; en particular, se ha procurado que estos programas funcionen (o funcionen con mínimas modificaciones) con todas las versiones de Matlab que se acaban de mencionar.

    Los temas abordados en los cuadernos van desde una computación “elemental” en ED, dirigida a alumnos de cursos básicos en que se imparten las ED (cuadernos 1—7), a problemas que se pueden considerar actualmente en los nuevos másteres universitarios (cuadernos 8-10), y o a otros problemas que podrían constituir el inicio en una materia de investigación, como son los relacionados con la influencia de pequeños parámetros en los modelos matemáticos (cuadernos 5 y 10). A lo largo de los distintos cuadernos, algunas funciones Matlab se utilizan con un mero carácter descriptivo, complementario de la materia, otras se utilizan para ilustrar razonamientos que proporcionan los teoremas, y otras para simular determinados procesos físicos. La variedad de alumnos ha condicionado el nivel y extensión de los cuadernos, a los que he intentado dar un carácter auto contenido.

    Finalmente queda por expresar mi gratitud al equipo OCW del Vicerrectorado de Profesorado de la UC, a la Editorial de la UC, y al diseñador gráfico Antonio J. González por su apoyo en este proyecto.

    Santander, Octubre de 2014.

    Mª Eugenia Pérez Martínez.

      

      

      

        Tópicos de los distintos cuadernos    

     

    Cuaderno 1. Preliminares: sobre cálculo diferencial e integral y álgebra

    • Variables, funciones y formatos.

    • Derivación e integración.

    • Entornos gráficos.

    • Matrices y vectores.

       

    Cuaderno 2. Resolución explícita de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

    • El comando “dsolve”.

    • Fórmulas integrales para ED: variables separadas, homogéneas , diferenciales exactas y lineales.

    • Ecuaciones de Riccati.

    • Modelos diferenciales.

       

    Cuaderno 3. Comportamiento cualitativo de soluciones de ED de primer orden: el campo de direcciones asociado a una ED

    • El entorno “dfield”.

    • Sobre existencia y unicidad de solución pasando por un punto.

    • Comportamiento de soluciones de ED sin resolverlas.

    • La solución numérica en el entorno “dfield”.

       

    Cuaderno 4. Resolución numérica de ED y sistemas diferenciales

    • ED de primer orden: problemas de Cauchy.

    • Soluciones explícitas y numéricas: intervalos de definición de soluciones y control del paso.

    • ED de segundo orden y sistemas diferenciales.

    • Problemas de contorno: el método de tiro.

       

    Cuaderno 5. Algunos modelos matemáticos y el plano de fases

    • Modelos diferenciales lineales y no lineales: soluciones explícitas y numéricas.

    • Modelos de resortes lineales: solución explícita.

    • ED del péndulo y de resortes no lineales: el proceso de la linealización.

    • Otros modelos con sistemas diferenciales.

    • Representaciones en el plano de fases: el entorno “pplane”.

       

    Cuaderno 6. Resolución de ecuaciones y sistemas diferenciales lineales: soluciones en series de potencias

    • Fórmulas integrales para ED de segundo orden.

    • Ecuaciones de Airy, Bessel, Schrödinger y otras.

    • Solución por desarrollos en serie de potencias.

    • Formulas integrales para sistemas lineales.

       

    Cuaderno 7. La transformada de Laplace en ED

    • La transformada de Laplace y su inversa.

    • Aplicaciones a problemas de valores iniciales con ED y sistemas: modelos de resortes lineales.

    • Aplicaciones a problemas de contorno: modelos de vigas.

    • Algunas soluciones con “dsolve”.

       

    Cuaderno 8. Problemas de contorno: series de Fourier y aproximación numérica de soluciones

    • Resoluciones explícitas.

    • Desarrollos en serie de Fourier.

    • Aproximación de soluciones: métodos de Galerkin y de elementos finitos.

       

    Cuaderno 9. EDP: modelos de propagación de ondas, vibraciones y difusión del calor

    • Problemas de valores iniciales para EDP de primer orden: ondas.

    • Problemas de valores iniciales para EDP de segundo orden: ondas y calor.

    • Problemas mixtos para las ecuaciones de calor y ondas.

    • Modelos de vibraciones de vigas.

    • Problemas de contorno para la ecuación de Laplace.

    • Modelos de vibraciones de membranas

       

    Cuaderno 10. Problemas de contorno: influencia de pequeños parámetros en ED

    • Diferencias finitas.

    • Algunas soluciones con “bvp4c”.

    • Análisis espectral para un problema “stiff”.

  • Bibliografía

     

     

        Bibliografía básica    

     

    • D.R. Bland (1988): «Wave theory and applications». Calderon Press. Nueva York.

    • R.L. Burden & J.D. Faires (1998): «Análisis numérico». Thompson. Méjico (séptima edición o posteriores).

    • P.G. Ciarlet (1990): «Introduction à l'analyse numérique et à l'optimisation». Masson. París.

    • G.H. Golub & J.M. Ortega (1992): «Scientific computing and differential equations: an introduction to numerical methods». Academic-Press. San Diego.

    • R. Knobel (1999): «An introduction to the mathematical theory of waves». AMS, Providence, Rhode Island.

    • G. Lindfield & J. Penny (2000): «Numerical methods using MATLAB». Prentice-Hall, Nueva York.

    • M.E. Pérez (1996): «Ecuaciones diferenciales: una introducción». Servicio de Publicaciones de la ETSIC, UC, Santander (revisado en 2001).                                                           

    • J.C. Polking (1995): «Ordinary differential equations using MATLAB». Prentice Hall, Nueva York.

    • J.C. Polking & D. Arnold (1999): «Ordinary differential equations using MATLAB». Prentice Hall, Nueva York.

    • K. Rektorys (1999): «Solving ordinary and partial boundary value problems in engineering science». CRC Press, LLC, Boca Raton, Praga.

    • A. Tveito & R. Winther (1998): «Introduction to partial differential equations. A computational spproach». Springer. Nueva York.

     

     

     

        Bibliografía complementaria    

     

    • E. Sanchez-Palencia (2015): «Paseo dialéctico por las ciencias». Editorial Universidad de Cantabria.

  • Materiales de Clase

    materiales

     

     

    • MC-F-000. Libro de apuntes del curso.
    • MC-F-001. Cuaderno de clase 1. Preliminares: sobre cálculo diferencial, cálculo integral y álgebra.
    • MC-F-002. Cuaderno de clase 2. Resolución explícita de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
    • MC-F-003. Cuaderno de clase 3. Comportamiento cualitativo de soluciones de ED de primer orden.
    • MC-F-004. Cuaderno de clase 4. Resolución numérica de ED y sistemas.
    • MC-F-005. Cuaderno de clase 5. Algunos modelos matemáticos y el plano de fases.
    • MC-F-006. Cuaderno de clase 6. Resolución de ecuaciones y sistemas diferenciales lineales.
    • MC-F-007. Cuaderno de clase 7. La transformada de Laplace en ED.
    • MC-F-008. Cuaderno de clase 8. Problemas de contorno: Series de Fourier y aproximación numérica de soluciones.
    • MC-F-009. Cuaderno de clase 9. EDP: modelos de propagación de ondas, vibraciones y difusión del calor.
    • MC-F-010. Cuaderno de clase 10. Problemas de contorno: influencia de pequeños parámetros en ED.

  • Ejercicios

    ejercicios

      

     

    • EP-F-001. Hoja de problemas 1. Preliminares sobre Cálculo y Álgebra.
    • EP-F-002. Hoja de problemas 2. Resolución explícita de ED de primer orden. Gráficas de soluciones.
    • EP-F-003. Hoja de problemas 3. ED de primer orden. Comportamientos cualitativos de soluciones y campos de direcciones.
    • EP-F-004. Hoja de problemas 4. Resolución numérica de EDO y sistemas diferenciales: problemas de valores iniciales.
    • EP-F-005. Hoja de problemas 5. Sobre el plano de fases: algunos modelos matemáticos.
    • EP-F-006. Hoja de problemas 6. Desarrollo en series de Potencias. Funciones especiales.
    • EP-F-007. Hoja de problemas 7. Sobre transformadas integrales: Laplace/Fourier.
    • EP-F-008. Hoja de problemas 8. Problemas de contorno. Desarrollo en serie de Fourier. Aproximaciones numéricas.
    • EP-F-009. Hoja de problemas 9. Ecuaciones en derivadas parciales: problemas de valores iniciales/contorno/mixtos.
    • EP-F-010. Hoja de problemas 10. Problemas de contorno: aproximaciones numéricas. Complemento sobre pequeños parámetros en las ED.

  • Otros Recursos

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    • OR-F-001. Algunos comandos útiles y funcionales MATLAB. Resumen.
    • OR-F-002. Sobre campos de direcciones.
    • OR-F-003. Sobre transformadas integrales.
    • OR-F-004. Sobre formulaciones variacionales. Método de Galerkin/elementos finitos.
    • OR-F-005. Altas frecuencias en un problema "stiff" relativo a las vibraciones de una cuerda.

  • Pruebas de Evaluación

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        Justificación y objetivos    

      

    Tratamiento computacional de las ecuaciones diferenciales:

    Son numerosos los modelos de la Ciencia y la Técnica en los que intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales. También son numerosos los problemas con los que nos encontramos a la hora de resolver o dar aproximaciones de las soluciones de dichos modelos. En este contexto, el contenido del curso supone un complemento de la materia de ecuaciones diferenciales clásicas de la carrera: se introducen algunos problemas de interés en Ingeniería y se utilizan programas de cálculo simbólico y numérico, tan necesarios para abordar dichos problemas.

      

      

      

        Formas docentes    

       

    • De carácter fundamentalmente práctico, se complementan contenidos teóricos con cálculos simbólicos y numéricos en el ordenador, utilizando de manera interactiva el programa  MATLAB o las funciones MATLAB construidas en el curso.

      

      

      

        Evaluación    

      

    • Evaluación continuada mediante trabajos dirigidos.

      

      

      

        Programa    

      

    Estudio de modelos matemáticos de la Ciencia y Técnica en que intervienes ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales usando programas de cálculo simbólico y numérico:

    • Soluciones explícitas de ecuaciones diferenciales ordinarias, sistemas diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales. Entornos gráficos.

    • Aproximación de soluciones mediante desarrollos en series de potencias.

    • Cálculo numérico de soluciones: funciones MATLAB.

    • Sistemas autónomos no lineales. Problemas de vibraciones mecánicas.

    • Uso de transformadas integrales en problemas de Ingeniería.

    • Introducción a los desarrollos asintóticos.

  • Sobre el Profesor

    profesor

     

     

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    María Eugenia Pérez Martínez

     

    Departamento de Matemática Aplicada y Ciencias de la Computación

    UNIVERSIDAD DE CANTABRIA
     
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